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一位高中数学老师眼中的“古代分牛”问题

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发表于 2019-7-1 08:07:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
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简单的分牛问题你会吗?

1 问题背景

分牛问题是小学生的经典问题,经过岁月的洗礼经久不衰。其大意是:古印度一位老人弥留之际把他的三个儿子叫到床前,要把19头牛分给他们,长子分得总数的1/2,次子分得总数的1/4,幼子分得总数的1/5.按照传统的规矩,牛既不能宰杀,也不能卖掉,只能整头分。19这个数,既不能被2整除,也不能被4整除,同样不能被5整除,三兄弟想问问父亲如何分的时候,老人已经过世了。

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怎样分呢?

2 具体分法

2.1借牛法

等到老人去世之后,三名兄弟就坐在一起讨论应当如何分牛。三兄弟将19分别乘以三个占比,发现,大儿子应当分得19×1/2=9.5头牛,二儿子应当分得19×1/4≈4.75头牛,小儿子应当分得19×1/5=3.8头牛。这三个数字都不是整数,如果舍掉小数点后的部分,大儿子能分到9头牛,二儿子能分到4头牛,小儿子仅能分得3头牛,这样加起来仅有16头牛,需要杀死3头牛。一人分一头的话好像又不太合理,在这种情况下应该如何做呢?

他们找到了聪明博学的邻居,邻居提议借他们一头牛,分完再将这头牛还给他就好。

于是三兄弟依旧按照父亲所说的占比那样分牛,大儿子分得了20×1/2=10头牛,二儿子分得了20×1/4=5头牛,小儿子分得了20×1/5=4头牛,10+5+4=19,刚好分完了老农夫留下的19头牛,余下一头牛可以还给邻居。问题就这样解决了,三兄弟开开心心地回家了.

2.2比例法

邻居知道,老人提出1/2、1/4和1/5的说法,是想让他的三个儿子按照比例分配这19头牛,而化为整数之后刚好为10:5:4,所以按照10:5:4这样的比例去分配老农夫留下的19头牛就刚好能分完。

那么,为什么邻居需要借给三兄弟一头牛用来分遗产,还能将自己的这头牛拿回去呢?因为想要将1/2、1/4和1/5这三个数化为整数的比例,需要乘以这三个分数的公倍数20,再加上1/2+1/4+1/5=19/20,也就是说老农夫所提出的分配方式,实际上是在分配20头牛中的19头,因此,邻居直接借出一头牛便可以免去自己向三兄弟解释一番的烦恼。

质疑:如果是下面的问题,不知聪明的你怎样处理。

如果这位老人留下了13头牛,分配方案如下:大儿子分1/2,二儿子分1/3,小儿子分1/4.三个儿子各分得几斗牛?

2.3方程法

设需要动用X头牛来分,X(1/2+1/4+1/5)=19,解得X=20,于是长子分10头牛,次子分5头牛,幼子分4头牛。

2.4无限递缩等比数列法

首先,长子分得9.5头,次子分得4.75头,小儿子分得3.8头,他们一共分得18.05头,还剩19/20头,于是还有19/20头没有分完。继续第二次分,要求仍然是长子分的总数的1/2,次子分的总数的1/4,小儿子分的总数的1/5,其结果是仍然没有分完,还剩:

同理下去,继续分第三次、第四次……第n次……

长子分得的数目是:

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这是个公比为1/20的无穷递缩等比数列。

利用无穷递缩等比数列的求和公式可得:

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同理可得,次子分得的数目为5,小儿子分得的数目为4.

这种解法采用了无穷递缩等比数列求和这个数学工具,直视题目中的矛盾,第一次分后剩下的牛,再次按照遗嘱的要求来分,这样一次一次的无限分下去,每次分得的数目构成一个公比为1/20的无穷递缩等比数列,求其和就可以了.

2.5属性数学法

1/2+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20转换为10/19+5/19+4/19=1,得19-10-5-4=0.分配结果是:长子分10头牛,次子分5头牛,幼子分4头牛.

2.6余数法

在“借牛法”中说“一人分一头的话好像又不太合理”,实际上一人一头的分法非常合理。即长子9+1=10,次子4+1=5,幼子3+1=4分法符合老人遗嘱的分配方案的。为什么呢?剩下的3头牛中已有长子的0.5头,次子的0.75头,幼子的0.8。把剩下的0.95按10:5:4的比例来分的话长子应该分其中的0.5,次子分0.25,幼子分0.2.与前面的数字加起来正好每人各分一头。

3.由分牛问题引起的反思

以上六种分法结果相同,而方法完全不同。这里涉及小学的比例、分数、最小公倍数知识,初中的一元一次方程、不等式知识,还有古代属性数学知识和高中的等比数列及极限等知识。这是个一题多解的题目,各种方法不但用的知识、方法不同,思考的角度也不尽相同.

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沉思者

反思一:借牛法

借牛法是巧妙绝伦的分法,一个难题通过“借一还一”的方法轻松解决。比如下面的问题如何用“借一还一”的技巧.

1999年“康师傅”方便面厂的厂家为促销,公开承诺:五个空的方便面碗就可以换得一盒方便面。青工小王一下买了20碗方便面,吃完五碗就去换回一碗,当他吃完24碗时,他还剩下4个空碗。当他准备再去买一碗方便面时,他的朋友送给了他一个空的方便面碗,他用这五个空碗又换回了一碗方便面,吃完之后,把这个空碗还给了他的朋友。 这位朋友采取的办法也是“借一还一”,而这个“借一还一”丝毫没有违背厂家的承诺:

五个空碗=一碗方便面

五个空碗=一个空碗+一碗面

4个空碗=1碗面(不带碗)

即:20+20÷4=25

类似的还有 “某商店规定:三个空汽水瓶可以换一瓶汽水。小张手上有十个空汽水瓶,她最多可以换多少瓶汽水喝?”你知道是几瓶吗?

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反思二:这里的比例关系是随意的吗?

答案肯定不是,比如改成1/2,1/4,1/10将会剩下两头牛,这个问题就无法解决了。既然不是随意,该如何构造这些数字呢?比如说:长子分1/2,次子分1/4,小儿子的比例与牛的总头数有怎样的关系呢?

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由于x、y是整数,并且y>x,可求得下列两组解:

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也就是可以构造的问题只能是如下两个,第一个就是本题,第二个可以构造如下:

老人留下12头牛,分的比例是长子1/2,次子1/4,幼子1/6.

有兴趣的朋友可以变换其他条件试一试你会得到怎样的结论呢?





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